퓨리에 변환을 처음부터 외우려면 기억이 안나고.. 유도하려면 퓨리에 급수가 기억안나고.. 다시 돌아가고..
다시는 이런 일이 없도록 외우지말고 유도하면서 정리해본다.
위의 번호 순서대로 정리해보자.
먼저 퓨리에 관련 모든 수식의 시작은 Fourier Series가 어떤 의미를 갖는지에서부터 시작하면 쉽다.
1. Fourier Series의 의미와 수식적 표현
"(거의 모든) Periodic Signal을 Sinusoidal signal의 합으로 나타낼 수 있다."
의미를 시작으로 Fourier series를 수식적으로 표현하면 다음과 같다.
2. Contribution a_k의 유도
Fourier series 표현식에서 a_k를 구해보자. 이때,
양변에 exp(jkwt)를 내적하면 쉽게 구할 수 있다.
(a_r 이나 a_k 나 표현식의 차이이므로 r대신 k를 써도 무방..) 따라서,
3. Fourier Transform의 유도
a_k 식을 토대로 Fourier Transform을 유도할 수 있다.
Fourier Transform은 Series와 달리 aperiodic signal을 커버하기 위해 등장하였으므로 periodic signal을 aperiodic으로 바꾸는 과정이 필요하다.
먼저 주기신호의 주기를 무한대로 늘리면 비주기신호가 된다는 아이디어를 염두하고 시작한다.
⓵이 그것을 표현한 것이다. T_0의 주기를 갖던 신호가 T_0가 무한대로 가자 비주기 신호인 x(t)가 되었다.
⓶은 주기가 무한대로 가면서 kw_0를 그냥 w로 표현한다는 것이다.
w_0는 주기와 역수관계로 점점 작은 극소의 값을 갖는데 이때 k는 원래 범위가 없는 (범위가 무한대인) 정수들의 집합이므로 kw_0는 모든 실수를 표현할 수 있고 이를 w로 표현하는 것이다.
이는 원래 기본주파수의 정수배들(하모닉스)로만 표현하던 FS가 FT으로 오면서 continuous 해짐을 의미한다.
③을 설명하기 전에 가장 위에 있는 X(kw_0) 의 정의를 보고 넘어가자 (저렇게 정의한 것으로 이유가 있는 것은 아니다..)
⓶를 이용하여 설명하면 큰 어려움 없이 이해할 수 있을 것이다.
이제 aperiod로 변하는 과정을 이용하여 Fourier Transform을 유도하자.
위의 과정을 이용하여 Fourier Transform 식이 위와 같이 유도된다. 다시 깔끔(?)하게 써본다면,
X(w)인지 X(jw)인지 X(e^jw)인지는 표현하기 나름이므로 크게 중요하지 않다.
4. Inverse Fourier Transform 유도
퓨리에 역변환은 맨처음 퓨리에 급수식에서 시작하여 유도할 수 있으며 여기서도 또한 주기신호를 비주기신호로 바꾸어주는 과정이 필요하다.
위의 과정을 보충 설명하기 위해 주기를 무한대로 보냈을 때 어떻게 되었는지 살표보자.
lim와 시그마가 만나면 인테그랄이 되는 것은 당연한 일이다. 인테그랄이 만들어진 이유이기 때문...
이때 T_0가 무한대로가면서 w_0는 극소값으로 변하는데 w_0가 인덱싱 문자 k에 곱해져서 continuous한 함수를 만드므로 w에 대한 적분식으로 변하게 된다. (구분구적법...) 따라서 다시 써보면 IFT는,
여기서 Dirichlet condition이나 FT of periodic signal.. 혹은 조금 더 심화된 내용을 추후에 추가하고자 한다.
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